Однією площиною мають загальну. Площина a проходить через ці точки. На кожній площині лежить хоча б одна точка. Способи завдання площини

Аксіоми стереометрії.

А1.Через будь-які три точки, що не лежать на даній прямій, проходить площину, і до того ж тільки одна;

Сл.1.Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину і до того ж лише одна;

Сл.2.Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і притому тільки одна;

Сл.3.Через дві паралельні прямі проходить площину, і лише одна.

Якщо дві точки прямої лежать у площині, то і всі точки прямої лежать у цій площині;

А3.Если дві площини мають спільну точку, всі вони мають спільну пряму, де лежать все загальні точки цих площин.

Основні фігури стереометрії– крапки (А, В, С…)прямі (а, b, c…), площині ( …) , багатогранники та тіла обертання.

Під січучою площиноюоб'ємної фігури розумітимемо площину, по обидва боки якої є точки даної фігури.

за міру відстаніміж точкою, прямою і площиною будемо приймати довжину їхнього загального перпендикуляра.

2. Взаємне розташування прямих у просторі.

У просторі дві прямі можуть бути паралельними, перетинатися чи схрещуватися.

1А	Опр. ПаралельнимиПрямими в просторі називаються прямі, які лежать в одній площині і не перетинаються. За сл. 3.Через дві паралельні прямі проходить площину, і до того ж лише одна.
1Б		Т 1 (Про транзитивність).Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.
2А	По сл.2.Через дві перетинаютьсяпрямі проходить площину, і до того ж лише одна
3А	Опр. Дві прямі називаються схрещуютьсяякщо вони не лежать в одній площині.
	Т 2 (Ознака схрещуються прямих).Якщо одна з двох прямих лежить у деякій площині, а інша пряма перетинає цю площину в точці, що не належить першій прямій, такі прямі є схрещуються.
3Б		Опр. Кутом між схрещуючими прямиминазивається кут між паралельними ним прямими, що перетинаються.
3В		Опр. Загальним перпендикуляром двох прямих, що схрещуються, називається відрізок, що має кінці на даних прямих і перпендикулярний до них (відстань між схрещуються прямими).

1. Взаємне розташування прямих та площин у просторі.

У просторі пряма та площина можуть бути паралельними, перетинатисяабо пряма цілком може лежати у площині.

1А	Опр. Пряманазивається паралельної площиніякщо вона паралельна будь-якій прямій, що лежить у цій площині.
1Б		Т 3 (Ознака паралельності прямої та площини). Пряма, що не лежить у площині, паралельна площині, якщо вона паралельна якійсь прямій, що лежить у цій площині.
2А	Опр. Пряма називається перпендикулярній площиніякщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що перетинається, лежать у цій площині.
2Б		Т 4 (Ознака перпендикулярності прямої та площини)Якщо пряма, що перетинає з площину, перпендикулярна до яких-небудь двох прямих, що перетинаються в цій площині, то вона перпендикулярна і до кожної третьої прямої, що лежить у цій площині.
2В		Т 5 (про дві паралельні прямі, перпендикулярні до третьої).Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й інша пряма перпендикулярна до цієї площини.
2Г		Опр. Кутом між прямою і площиною називається кут, між даною прямою та її проекцією на площину.
2Д	Будь-яка інша пряма, відмінна від перпендикуляра і перетинає площину, називається похилійдо цієї площини (див. нижче). Опр. Проекцією нахиленої на площинуназивається відрізок, що з'єднує основу перпендикуляра та похилою. Т 6 (про довжину перпендикуляра та похилої). 1) Перпендикуляр, проведений до площини коротше похилої до цієї площини; 2) Рівним похилим відповідають рівні проекції; 3) З двох похилих більше та, проекція якої більша.
2Е		Т 7 (Про три перпендикуляри).Пряма, проведена на площині через основу похилої перпендикулярно до її проекції, перпендикулярна і до самої похилої. Т 8 (Зворотній).Пряма, проведена на площині через основу похилої та перпендикулярної, перпендикулярна і проекції похилої на данню площину.
3А		По аксіомі 2.Якщо дві точки прямої лежать у площині, то і всі точки прямої лежать у цій площині

1. Взаємне розташування площин у просторі.

У просторі площини можуть бути паралельнимиабо перетинатися.

1А	Опр. Дві площиніназиваються паралельнимиякщо вони не перетинаються.
		Т 9 (Ознак паралельності площин).Якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, відповідно паралельні двом прямим інший площині, то ці площини паралельні.
1Б		Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою площиною, то прямі перетину паралельні. (Властивість паралельних площин 1).
1В		Т 11 Відрізки паралельних прямих, укладених між паралельними площинами, рівні (Властивість паралельних площин 2).
2А		По аксіомі 3 . Якщо дві площини мають загальну точку, всі вони мають спільну пряму, де лежать всі загальні точки цих площин ( площини перетинаються по прямій).
2Б		Т 12 (Ознака перпендикулярності площин).Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то ці площини перпендикулярні.
2В		Опр. Двогранним кутомназивається фігура, утворена двома напівплощинами, що виходять з однієї прямої. Площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по двох променях. Кут, утворений цими променями називається лінійним кутом двогранного кута.за міру двогранного кутавживається міра відповідного лінійного кута.

Три площини можуть не мати жодної загальної точки (якщо принаймні дві з них паралельні, а також якщо прямі їх перетину паралельні), можуть мати безліч загальних точок (якщо всі вони проходять через одну пряму) або мати тільки

одну загальну точку. У першому випадку система рівнянь

не має рішень, у другому має безліч рішень, у третьому - тільки одне рішення. Для дослідження найзручніше застосувати визначники (§ 183, 190), але можна обійтися і засобами елементарної алгебри.

Приклад 1. Площина

не мають спільних точок, тому що площини (1) та (2) паралельні (§ 125). Система рівнянь несумісна (рівняння (1) та (2) суперечать один одному).

Приклад 2. Дослідити, чи є загальні точки у трьох площин

Шукаємо рішення системи (4)-(6). Виключивши 2 з (4) і (5), отримуємо виключивши 2 з (4) і (6), отримуємо ці два рівняння несумісні. Отже, три площини немає спільних точок. Оскільки серед них немає паралельних площин, то три прямі, якими площини попарно перетинаються, паралельні.

Приклад 3. Дослідити, чи спільні точки у площин

Вступаючи, як у прикладі 2, отримаємо обидва рази тобто фактично не два, а одне рівняння. Воно має безліч рішень. Отже, три

Тема «Аксіоми стереометрії та наслідки з них». Варіант 2 . 1.Що можна сказати про взаємне розташування двох площин, які мають три загальні

точки, що не лежать на одній прямій? а) перетинаються; б) нічого сказати не можна; в) не перетинаються; г) збігаються; д) мають три спільні точки.

2. Яке з наступних тверджень є вірним? а) Якщо дві точки кола лежать у площині, то все коло лежить у цій площині; б) пряма, що лежить у площині трикутника, перетинає дві сторони; в) будь-які дві площини мають лише одну загальну точку; г) через дві точки проходить площину і до того ж лише одна; д) пряма лежить у площині даного трикутника, якщо вона перетинає дві прямі сторони трикутника, що містять.

3. Чи можуть дві різні площини мати лише дві загальні точки? а) Ніколи; б) можу, але за додаткових умов; в) завжди мають; г) не можна відповісти на запитання; д) інша відповідь.

4. Крапки K, L, M лежать на одній прямій, точка N не лежить на ній. Через кожні три точки проведено одну площину. Скільки різних площин при цьому вийшло? а) 1; б) 2; у 3; г) 4; д) нескінченно багато.

5. Виберіть правильне затвердження. а) Через будь-які три точки проходить площину, і до того ж лише одна; б) якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині; в) якщо дві площини мають спільну точку, то вони не перетинаються; г) через пряму та точку, що лежить на ній, проходить площину, і до того ж лише одна; д) через дві прямі площину, що перетинаються, провести не можна.

6. Назвіть загальну пряму площин PBM та MAB. а) PM; б) AB; в) PB; г) BM; д) визначити не можна.

7. Прямі а та b перетинаються в точці М. Пряма с, яка не проходить через точку М, перетинає прямі а та b. Що можна сказати про взаємне становище прямих а, b і c? а) Усі прямі лежать у різних площинах; б) прямі а та b лежать в одній площині; в) усі прямі лежать у одній площині; г) нічого сказати не можна; д) пряма з збігається з однією з прямих: або з а, або з b.

8. Прямі а та b перетинаються в точці О. A € a, B € b, Y € AB. Виберіть правильне затвердження. а) Точки O та Y не лежать в одній площині; б) прямі OY та a паралельні; в) прямі a, b та точка Y лежать в одній площині; г) точки O та Y збігаються; д) точки Y та A збігаються.

Варіант 2.

1.Что можна сказати про взаємне розташування двох площин, які мають три загальні точки, що не лежать на одній прямій?
а) перетинаються; б) нічого сказати не можна; в) не перетинаються; г) збігаються; д) мають три спільні точки.

2. Яке з наступних тверджень є вірним?
а) Якщо дві точки кола лежать у площині, то все коло лежить у цій площині; б) пряма, що лежить у площині трикутника, перетинає дві сторони; в) будь-які дві площини мають лише одну загальну точку; г) через дві точки проходить площину і до того ж лише одна; д) пряма лежить у площині даного трикутника, якщо вона перетинає дві прямі сторони трикутника, що містять.

3. Чи можуть дві різні площини мати лише дві загальні точки?
а) Ніколи; б) можу, але за додаткових умов; в) завжди мають; г) не можна відповісти на запитання; д) інша відповідь.

4. Крапки K, L, M лежать на одній прямій, точка N не лежить на ній. Через кожні три точки проведено одну площину. Скільки різних площин при цьому вийшло?
а) 1; б) 2; у 3; г) 4; д) нескінченно багато.

5. Виберіть правильне затвердження.
а) Через будь-які три точки проходить площину, і до того ж лише одна; б) якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині; в) якщо дві площини мають спільну точку, то вони не перетинаються; г) через пряму та точку, що лежить на ній, проходить площину, і до того ж лише одна; д) через дві прямі площину, що перетинаються, провести не можна.

6. Назвіть загальну пряму площин PBM та MAB.
а) PM; б) AB; в) PB; г) BM; д) визначити не можна.

7. Яку з перелічених площин перетинає пряма РМ (рис.1)?
а) DD1C; б) D1PM; в) B1PM; г) ABC; д) CDA.
В1 С1

8. Дві площини перетинаються по прямій с. Крапка М лежить лише у одній із площин. Що можна сказати про взаємне положення точки М і пряму с?
а) Ніякого висновку зробити не можна; б) пряма з проходить через точку М; в) точка М лежить на прямій; г) пряма з не проходить через точку М; д) інша відповідь.

9. Прямі а та b перетинаються в точці М. Пряма с, яка не проходить через точку М, перетинає прямі а та b. Що можна сказати про взаємне становище прямих а, b і c?
а) Усі прямі лежать у різних площинах; б) прямі а та b лежать в одній площині; в) усі прямі лежать у одній площині; г) нічого сказати не можна; д) пряма з збігається з однією з прямих: або з а, або з b.

10. Прямі а та b перетинаються в точці О. A € a, B € b, Y € AB. Виберіть правильне затвердження.
а) Точки O та Y не лежать в одній площині; б) прямі OY та a паралельні; в) прямі a, b та точка Y лежать в одній площині; г) точки O та Y збігаються; д) точки Y та A збігаються.

ВІДПОВІДІ ПОЯСНИТИ, ДЯКУЄ ВЕЛИКЕ ЗАРАНІШЕ!) Точка А лежить на ребрі двогранного кута. 1. Чи вірно, що кут ВАС – лінійний кут двогранного кута, якщо

промені АВ та АС перпендикулярні його ребру? 2. Чи правильно, що лінійний кут ВАС двогранного кута, якщо промені АВ та АС лежать у гранях двогранного кута? 3. Чи вірно, що кут ВАС - лінійний кут двогранного кута, якщо промені АВ та АС перпендекулярні до його ребра, а точки Е та С лежать на гранях кута? 4. Лінійний кут двогранного кута дорівнює 80 градусів. Чи знайдеться в одній із граней кута пряма, перпендикулярна до іншої грані? 5. Кут АВС – лінійний кут двогранного кута з ребром альфа. Чи перпендекулярна пряма альфа площині АВС? Чи правильно, що це прямі, перпендекулярні даної площині і які перетинають цю пряму, лежать у одній площині.

I5 Якими б не були три точки, що не лежать на одній прямій, існує не більше однієї площини, що проходить через ці точки.

I6 Якщо дві точки А та В прямій лежать у площині a, то кожна точка прямої а лежить у площині a. (У цьому випадку говоритимемо, пряма а лежить у площині a або що площина проходить через пряму а.

I7 Якщо дві площини a та b мають загальну точку А, то вони мають принаймні ще одну загальну точку В.

I8 Існує принаймні чотири точки, що не лежать в одній площині.

Вже з цих 8 аксіом можна вивести кілька теорем елементарної геометрії, які наочно очевидні і, тому, у шкільному курсі геометрії не доводяться і навіть іноді з логічних міркувань включаються до аксіоми того чи іншого шкільного курсу

Наприклад:

1. Дві прямі мають трохи більше однієї загальної точки.

2. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму, на якій лежать усі загальні точки цих двох площин

Доказ: (для понту):

По I 7 $, яка теж належить a і b,т.к. А, В "a, то по I 6 АВ" b. Значить пряма АВ є загальною для двох площин.

3. Через пряму і не лежачу на ній точку, так само як через дві прямі, що перетинаються, проходить одна і тільки одна площина.

4. На кожній площині існує три точки, що не лежать на одній прямій.

ЗАУВАЖЕННЯ: За допомогою цих аксіом можна довести трохи теорем і більшість з них такі прості. Зокрема з цих аксіом не можна довести, що безліч геометричних елементів є нескінченним.

ГРУПА II Аксіоми порядку.

Якщо на прямій дано три точки, то одна з них може перебувати до двох інших щодо «лежати між», яке задовольняє наступним аксіомам:

II1 Якщо У лежить між А і С, то А,В, С-різні точки однієї прямої і В лежить між С і А.

II2 Якими б не були дві точки А і В, існує принаймні одна точка С на прямий АВ, така, що лежить між А і С.

II3 Серед будь-яких трьох точок прямої існує не більше однієї точки, що лежить між двома іншими

По Гільберту над відрізком АВ(ВА) розуміється пара точок А і В. Точки А і В називаються кінцями відрізка, а будь-яка точка, що лежить між точками А і В називається внутрішньою точкою відрізка АВ(ВА).

ЗАУВАЖЕННЯ:Але з II 1- II 3 поки не слід, що у всякого відрізка є внутрішні точки, але з II 2, що у відрізка є зовнішні точки.

II4 (аксіома Паша) Нехай А, В, С - три точки, що не лежать на одній прямій, а - пряма в площині АВС, що не проходить через одну з точок А,В,С. Тоді якщо пряма, а проходить через точку відрізка АВ, вона проходить також через точку відрізка АС або ВС.

Сл.1: Якими б не були точки А та С, існує принаймні одна точка D на прямій АС, що лежить між А та С.

Док-во: I 3 Þ$ тобто не лежача на прямій АС

Сл.2.Якщо лежить на відрізку АТ і В між А і С, то лежить між А і Д, а С між В і Д.

Тепер можна довести два твердження

Сл3Твердження II 4 має місце і у випадку, якщо точки А, В і С лежать на одній прямій.

І найцікавіше.

Сл.4 . Між будь-якими двома точками прямої існує безліч інших її точок (самост.).

Однак не можна встановити, що безліч точок прямої незліченна .

Аксіоми І та ІІ груп дозволяють ввести такі важливі поняття як напівплощина, промінь, напівпростір і кут. Спочатку доведемо теорему.

Тh1. Пряма а, що лежить у площині a, поділяє безліч точок цієї площини, що не лежать на прямій а, на два непусті підмножини так, що якщо т. А і належать одному підмножині, то відрізок АВ не має загальних точок з прямою а; якщо ці точки належать різним підмножинам, то відрізок АВ має загальну точку з прямою а.

Ідея: вводиться ставлення, а саме, т. А та В Ï азнаходяться у відношенні Δ, якщо відрізок АВ не має спільних точок з прямою аабо ці точки збігаються. Потім розглядалися множини класів еквівалентності по відношенню Δ. Доводиться, що їх лише два за допомогою нескладних міркувань.

Опр1Кожне з підмножин точок, що визначаються попередньою теоремою, називається напівплощиною з межею а.

Аналогічно можна запровадити поняття променя та напівпростору.

Промінь- h, А пряма-.

Опр2Кут - це пара променів h і k, що виходять з однієї т. Про не лежать на одній прямій. т.о. називається вершиною кута, а промені h і k сторонами кута. Позначаємо звичайним чином: Hk.

Точка M називається внутрішньою точкою кута hk, якщо точка М та промінь k лежать в одній півплощині з кордоном і точка М та промінь k лежать в одній півплощині з кордоном . Безліч усіх внутрішніх точок називається внутрішньою областю кута.

Зовнішня область кута - безліч, т.к. всі точки відрізка з кінцями на різних сторонах кута є внутрішніми. Наступну властивість методичних міркувань часто включають в аксіоми.

Властивість: Якщо промінь виходить з вершини кута і проходить хоча б через одну внутрішню точку цього кута, він перетинає будь-який відрізок з кінцями на різних сторонах кута. (Самост.)

ГРУПА III. Аксіоми конгруентності (рівності)

На множині відрізків і кутів вводиться відношення конгруентності або рівності (позначається "="), що задовольняє аксіомам:

III 1 Якщо дані відрізок АВ і промінь, що виходить з т. А / , то $ т.В / , що належить даному променю, тобто АВ = А / В / .

III 2 Якщо А / В / = АВ і А // В // = АВ, то А / В / = А // В // .

III 3 Нехай А-В-С, А/-В/-С/, АВ=А/В/ і ВС=В/С/, тоді АС=А/С/

Опр3Якщо О / - точка,.h / -промінь, що виходить з цієї точки, а l / -напівплощина з кордоном , то трійка об'єктів О / ,h / і l / називається прапором (О / ,h / ,l /).

III 4 Нехай дані Ðhk і прапор (О /, h /, l /). Тоді в півплощині l/існує єдиний промінь k/, що виходить з точки О/, такий що Ðhk = ?h/k/.

III 5 Нехай А, В і С - три точки, що не лежать на одній прямій. Якщо при цьому АВ = А / В / , АС = А / С / , ÐВ / А / С / = ?ВАС, то ?АВС = ?А / В / С / .

1. Точка В/в III 1 єдина на даному промені (самост.)

2. Відношення конгруентності відрізків є відношенням еквівалентності на множині відрізків.

3. У рівнобедреному трикутнику кути при підстав рівні. (По III 5).

4. Ознаки рівності трикутників.

5. Відношення конгруентності кутів є ставленням еквівалентності на безлічі кутів. (Доповідь)

6. Зовнішній кут трикутника більший за кожен кут трикутника, не суміжного з ним.

7. У кожному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут.

8. Будь-який відрізок має одну і лише одну середину

9. Будь-який кут має одну і тільки одну бісектрису

Можна ввести такі поняття:

Опр4Кут рівний своєму суміжному називається прямим.

Можна визначити вертикальні кути, перпендикуляр та похилі тощо

Можна довести єдиність. Можна ввести поняття > і< для отрезков и углов:

Опр5Якщо дані відрізки АВ і А/В/ і $т.С, тобто А/-С-В/і А/С=АВ, то А/В/>АВ.

Опр6Якщо дані два кути Ðhk і ?h / k / , і якщо через внутрішню область ?hk і його вершину можна провести промінь l такий, що ?h / k / = ?hl, то ?hk > ?h / k / .

І найцікавіше, що за допомогою аксіом груп I-III можна ввести поняття руху (накладання).

Робиться це приблизно так:

Нехай дані дві множини точок p і p /. Припустимо, що між точками цих множин встановлено взаємно однозначну відповідність. Кожна пара точок М та N множини p визначає відрізок МN. Пусть М/і N/точки множини p/, відповідні точкам МN. Відрізок М/N/умовимося називати відповідним відрізком МN.

Опр7Якщо $ відповідність між p і p / така, що відповідні відрізки завжди виявляються взаємно конгруентними, то й множини p і p / називається конгруентними . При цьому кажуть також, що кожна з множин p і p/отримано рухомз іншого або, що одна з цих множин може бути накладена на іншу. Відповідні точки множини p і p / називається суміжним при накладенні.

Утв1: Точки, що лежать на прямій, при русі переходять у точки, що також лежать на деякій прямій.

Утв2 Кут, між двома відрізками, що з'єднують якусь точку множини з двома іншими його точками, конгруентен куті між відповідними відрізками конгруентної множини.

Можна запровадити поняття обертання, зсуву, композиції рухів тощо.

ГРУПА IV. Аксіоми безперервності і.

IV 1 (Аксіома Архімеда). Нехай АВ та СD якісь відрізки. Тоді на прямій АВ існує кінцева множина точок А 1 , А 2 , …, А n , таких що виконуються умови:

1. А-А 1 -А 2, А 1 -А 2 -А 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n

2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD

3. A-B-A n

IV2 (Аксіома Кантора) Нехай на довільній прямій а дана нескінченна послідовність відрізків А1В1, А2В2, з яких кожен наступний лежить всередині попереднього і, крім того, для будь-якого відрізка СD знайдеться натуральне число n, таке, що АnВn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.

З умови аксіоми Кантора відразу випливає, що така т. M єдина, тому що якщо це не так, і сущ. ще одна т.N, то відрізок МN

Можна довести, що аксіоми I-III і IV 1 ,IV 2 еквівалентні наступному реченню Дедекінда.

Теорема ДедекіндаНехай дано розбиття точок відрізка [АВ] на два класи К 1 і К 2 , К 1 È К 2 = [АВ], К 1 ÇК 2 =Æ, що задовольняє двом умовам:

a) АВК 1, ВОК 2 і класи К 1 і К 2 містять точки, відмінні від точок А і В.

b) Будь-яка точка класу К 1 , відмінна від А, лежить між точкою А та будь-якою точкою класу К 2

Тоді $ т.М 0 відрізка [АВ], така, що будь-яка точка, що лежить між А і М 0 належить класу К 1 , а будь-яка точка між М 0 і В-класу К 2.

Розбиття відрізка [АВ] на класи К 1 , К 2, що задовольняє умовам а)-в), називається дедекіндовим перетином . Можна довести, що точка М 0 виробляє перетин єдина.

З аксіом I-IV груп можна побудувати теорію вимірювання відрізків і кутів. Навіть можна довести, що $ бієкція. безлічі точок прямий на безліч Rречових чисел, зберігається порядок. А ось теорію площ та обсягів побудувати не можна, т.к. знадобився Аксіома паралельності.

ГРУПА V. Аксіома паралельності .

V. Нехай а - довільна пряма, а А-крапка, що не лежить на цій прямій. Тоді в площині, визначеної точкою А і прямою а, існує не більше однієї прямої, що проходить через А і не перетинає а.

З I-V можна побудувати теорію паралельності, подоби тощо. обґрунтувати тригонометрію, ввести координати, показати, що пряма на площині (визначення рівняння першого ступеня тощо)

ЗАУВАЖЕННЯ: V * Нехай а-довільна пряма, А-точка не лежача на одній прямій.

Група I-IVÈV* -будується геометрія Лобачевського.

Як же виходить, що, замінивши лише одну аксіому, ми отримали зовсім іншу геометрію? Тут доведеться торкнутися самі основ математики та правила побудови математичних теорій.

У планіметрії площина є однією з основних фігур, тому дуже важливо мати ясне уявлення про неї. Ця стаття створена для розкриття цієї теми. Спочатку дано поняття площини, її графічне уявлення та показані позначення площин. Далі площина розглядається разом із точкою, прямою чи іншою площиною, у своїй виникають варіанти із взаємного розташування просторі. У другому і третьому та четвертому пункті статті якраз розібрано всі варіанти взаємного розташування двох площин, прямої та площини, а також точки та площини, наведено основні аксіоми та графічні ілюстрації. У висновку дано основні способи завдання площини у просторі.

Навігація на сторінці.

Площина – основні поняття, позначення та зображення.

Найпростішими та основними геометричними фігурами у тривимірному просторі є точка, пряма та площина. Ми вже маємо уявлення про точку та пряму на площині. Якщо помістити площину, де зображені точки і прямі, в тривимірне простір, ми отримаємо точки і прямі у просторі. Уявлення про площину у просторі дозволяє отримати, наприклад, поверхню столу чи стіни. Однак, стіл або стіна мають кінцеві розміри, а площина тягнеться за їх межі в нескінченність.

Крапки і прямі у просторі позначаються як і площині – великими і маленькими латинськими літерами відповідно. Наприклад, точки А і Q прямі а і d . Якщо задані дві точки, що лежать на прямій, то можна позначити пряму двома літерами, що відповідають цим точкам. Наприклад, пряма АВ чи ВА проходить через точки А та В . Площини прийнято позначати дрібними грецькими літерами, наприклад, площині , або .

При вирішенні завдань виникає необхідність зображати площину на кресленні. Площина зазвичай зображують у вигляді паралелограма або довільної простої замкнутої області.

Площина зазвичай розглядається разом з точками, прямими або іншими площинами, при цьому виникають різні варіанти їхнього взаємного розташування. Переходимо до їхнього опису.

Взаємне розташування площини та точки.

Почнемо з аксіоми: у кожному площині є точки. З неї випливає перший варіант взаємного розташування площини та точки – точка може належати площині. Іншими словами, поверхня може проходити через точку. Для позначення приналежності будь-якої точки будь-якої площини використовують символ "". Наприклад, якщо площина проходить через точку А , можна коротко записати .

Слід розуміти, що на заданій площині у просторі є безліч точок.

Наступна аксіома показує, скільки точок у просторі необхідно відзначити, щоб вони визначали конкретну площину: через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площину, причому лише одна. Якщо відомі три точки, що лежать у площині, то площину можна позначити трьома літерами, що відповідають цим точкам. Наприклад, якщо площина проходить через точки А, В та С, то її можна позначити АВС.

Сформулюємо ще одну аксіому, яка дає другий варіант взаємного розташування площини та точки: є, принаймні, чотири точки, що не лежать в одній площині. Отже, точка простору може належати площині. Дійсно, через попередню аксіому через три точки простору проходить площина, а четверта точка може як лежати на цій площині, так і не лежати. При короткому записі використовують символ "", який рівносильний фразі "не належить".

Наприклад, якщо точка А не лежить у площині, то використовують короткий запис.

Пряма та площина у просторі.

По-перше, пряма може лежати у площині. В цьому випадку, у площині лежать хоча б дві точки цієї прямої. Це встановлюється аксіомою: якщо дві точки прямої лежать у площині, всі точки цієї прямої лежать у площині. Для короткого запису належності деякої прямої даної площини користуються символом "". Наприклад, запис означає, що пряма лежить у площині .

По-друге, пряма може перетинати площину. При цьому пряма та площина мають одну єдину загальну точку, яку називають точкою перетину прямої та площини. При короткому записі перетин позначаю символом «». Наприклад, запис означає, що пряма перетинає площину в точці М . При перетині площини деякої прямої виникає поняття кута між прямою та площиною.

Окремо варто зупинитися на прямій, яка перетинає площину та перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить у цій площині. Таку пряму називають перпендикулярною до площини. Для короткого запису перпендикулярності використовують символ «». Для більш глибокого вивчення матеріалу можете звернутися до статті перпендикулярність прямої та площини.

p align="justify"> Особливу значимість при вирішенні завдань, пов'язаних з площиною, має так званий нормальний вектор площини. Нормальним вектором площини є будь-який ненульовий вектор, що лежить на прямій перпендикулярній цій площині.

По-третє, пряма може бути паралельна площині, тобто не мати в ній загальних точок. Під час короткого запису паралельності використовують символ «». Наприклад, якщо пряма паралельна площині , то можна записати . Рекомендуємо докладніше вивчити цей випадок, звернувшись до статті паралельність прямої та площині.

Слід сказати, що пряма, що лежить у площині, поділяє цю площину на дві півплощини. Пряма у разі називається межею полуплоскостей. Будь-які дві точки однієї півплощини лежать по одну сторону від прямої, а дві точки різних напівплощин лежать по різні боки від граничної прямої.

Взаємне розташування площин.

Дві площини у просторі можуть збігатися. У цьому випадку вони мають принаймні три загальні точки.

Дві площини у просторі можуть перетинатися. Перетином двох площин є пряма лінія, що встановлюється аксіомою: якщо дві площини мають спільну точку, вони мають спільну пряму, на якій лежать всі загальні точки цих площин.

У цьому випадку виникає поняття кута між площинами, що перетинаються. Окремий інтерес представляє випадок, коли кут між площинами дорівнює дев'яносто градусам. Такі поверхні називають перпендикулярними. Про них ми поговорили у статті перпендикулярність площин.

Нарешті, дві площини у просторі можуть бути паралельними, тобто не мати спільних точок. Рекомендуємо ознайомитися зі статтею паралельність площин, щоб отримати повне уявлення про цей варіант взаємного розташування площин.

Способи завдання площини.

Тепер ми перерахуємо основні методи завдання конкретної площині у просторі.

По-перше, площину можна задати, зафіксувавши три простори, що не лежать на одній прямій точці. Цей спосіб заснований на аксіомі: через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить єдина площина.

Якщо в тривимірному просторі зафіксована і задана площина за допомогою вказівки координат трьох різних точок, що не лежать на одній прямій, то ми можемо написати рівняння площини, що проходить через три задані точки .

Два наступні способи завдання площини є наслідком попереднього. Вони засновані на слідствах з аксіоми про площину через три точки:

• через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину, притому лише одна (дивіться також статтю рівняння площини, що проходить через пряму та точку);
• через дві прямі, що перетинаються, проходить єдина площина (рекомендуємо ознайомитися з матеріалом статті рівняння площини, що проходить через дві прямі, що перетинаються).

Четвертий спосіб завдання площини у просторі заснований на визначенні паралельних прямих. Нагадаємо, що дві прямі у просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині та не перетинаються. Таким чином, вказавши дві паралельні прямі у просторі, ми визначимо єдину площину, у якій ці прямі лежать.

Якщо тривимірному просторі щодо прямокутної системи координат задана площину зазначеним способом, ми можемо скласти рівняння площині, що проходить через дві паралельні прямі .

У курсі середньої школи під час уроків геометрії доводиться така теорема: через фіксовану точку простору проходить єдина площина, перпендикулярна до цієї прямої. Таким чином, ми можемо задати площину, якщо вкажемо точку, якою вона проходить, і пряму, перпендикулярну до неї.

Якщо в тривимірному просторі зафіксована прямокутна система координат і задана площину вказаним способом, то можна скласти рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданої прямої.

Замість прямої, перпендикулярної до площини, можна вказати один із нормальних векторів цієї площини. І тут є можливість написати