Описаний паралелепіпед. Прямокутний паралелепіпед - Гіпермаркет знань. На які елементи можна поділити цю фігуру

⁰

Призма називається паралелепіпедом, якщо її основи - паралелограми. Див. Рис.1.

Властивості паралелепіпеда:

Протилежні грані паралелепіпеда паралельні (тобто лежать у паралельних площинах) і рівні.

Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Сумежні грані паралелепіпеда- Дві грані, що мають спільне ребро.

Протилежні грані паралелепіпеда- Грані, що не мають спільних ребер.

Протилежні вершини паралелепіпеда– дві вершини, що не належать до однієї грані.

Діагональ паралелепіпеда- Відрізок, який з'єднує протилежні вершини.

Якщо бічні ребра перпендикулярні до площин основ, то паралелепіпед називається прямим.

Прямий паралелепіпед, основи якого – прямокутники, називається прямокутним. Призма, всі межі якої – квадрати, називається кубом.

Паралелепіпед– призма, у якої основами є паралелограми.

Прямий паралелепіпед– паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні площині основи.

Прямокутний паралелепіпед– це прямий паралелепіпед, основами якого є прямокутники.

Куб- Прямокутний паралелепіпед з рівними ребрами.

Паралелепіпедомназивається призма, основа якої – паралелограм; таким чином, паралелепіпед має шість граней і всі вони – паралелограми.

Протилежні грані попарно рівні та паралельні. Паралелепіпед має чотири діагоналі; всі вони перетинаються в одній точці і діляться у ній навпіл. За основу може бути прийнята будь-яка грань; обсяг дорівнює добутку площі основи на висоту: V = Sh.

Паралелепіпед, чотири бічні грані якого - прямокутники, називається прямим.

Прямий паралелепіпед, у якого всі шість граней – прямокутники, називається прямокутним. Див. Рис.2.

Об'єм (V) прямого паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи (S) на висоту (h): V = Sh .

Для прямокутного паралелепіпеда, крім того, має місце формула V=abc, де a, b, c – ребра.

Діагональ (d) прямокутного паралелепіпеда пов'язана з його ребрами співвідношенням d 2 = а 2 + b 2 + c 2 .

Прямокутний паралелепіпед– паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні основам, а основи прямокутниками.

Властивості прямокутного паралелепіпеда:

У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней – прямокутники.

Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює суміквадратів трьох його вимірів (довжини трьох ребер, що мають загальну вершину).

Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Прямокутний паралелепіпед, усі грані якого – квадрати, називається кубом. Усі ребра куба рівні; об'єм (V) куба виражається формулою V=a 3, де a – ребро куба.

Прямокутний паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед – це такий прямий паралелепіпед, у якого всі грані є прямокутниками.

Досить подивитися навколо себе, і ми побачимо, що предмети, що нас оточують, мають форму схожу на паралелепіпед. Вони можуть відрізняти за кольором, мати масу додаткових деталей, але якщо ці тонкощі відкинути, можна сказати, що наприклад шафа, коробка і т.д., мають приблизно однакову форму.

З поняттям прямокутного паралелепіпеда ми стикаємося практично щодня! Озирніться довкола і скажіть, де ви бачите прямокутні паралелепіпеди? Подивіться на книгу, адже вона якраз такої форми! Цю ж форму мають цеглу, сірникову коробку, дерев'яний брусок, і навіть прямо зараз ви знаходитесь усередині прямокутного паралелепіпеда, адже класна кімната – це найяскравіша інтерпретація цієї геометричної фігури.

Завдання:А які приклади паралелепіпеда ви можете назвати?

Давайте більш ретельно розглянемо прямокутний паралелепіпед. І що ми бачимо?

По-перше, бачимо, що ця постать утворена з шести прямокутників, які є гранями прямокутного паралелепіпеда;

По-друге, прямокутний паралелепіпед має вісім вершин та дванадцять ребер. Ребра прямокутного паралелепіпеда – це сторони його граней, а вершини паралелепіпеда є вершинами граней.

Завдання:

1. Яку назву має кожна з граней прямокутного паралелепіпеда? 2. Завдяки яким параметрам можна виміряти паралелограм? 3. Дайте визначення протилежних граней.

Види паралелепіпедів

Але паралелепіпеди бувають не тільки прямокутними, але також вони можуть бути прямими і похилими, а прямі якраз і діляться на прямокутні, непрямокутні і куби.

Завдання: Подивіться на картинку та скажіть, які паралелепіпеди на ній зображені. Чим прямокутний паралелепіпед відрізняється від куба?

Властивості прямокутного паралелепіпеда

Прямокутний паралелепіпед має ряд найважливіших властивостей:

По-перше, квадрат діагоналі цієї геометричної фігури дорівнює сумі квадратів трьох його основних параметрів: висоти, ширини та довжини.

По-друге, всі його чотири діагоналі є абсолютно ідентичними.

По-третє, якщо всі три параметри паралелепіпеда однакові, тобто довжина, ширина і висота рівні, то такий паралелепіпед називають кубом, і всі його грані дорівнюватимуть тому самому квадрату.

Завдання

1. Чи має прямокутний паралелепіпед рівні грані? Якщо такі є, покажіть їх на малюнку. 2. З яких геометричних форм складаються грані прямокутного паралелепіпеда? 3. Яке розташування мають рівні грані стосовно один одного? 4. Назвіть кількість пар рівних граней цієї фігури. 5. Знайдіть у прямокутному паралелепіпеді ребра, які позначають його довжину, ширину, висоту. Скільки ви нарахували?

Завдання

Щоб красиво оформити подарунок на день народження мамі, Таня взяла коробку у формі прямокутного паралелепіпеда. Розмір цієї коробки 25см * 35см * 45см. Щоб зробити це впакування красивим, Таня вирішила, обклеїти його гарним папером, вартість якого 3 гривні за 1 дм2. Скільки потрібно витратити грошей на пакувальний папір?

А ви знаєте, що відомий ілюзіоніст Девід Блейн у рамках експерименту провів 44 дні у скляному паралелепіпеді, підвішеному над Темзою. Ці 44 дні він не їв, а лише пив воду. До свого добровільного вузища Девід взяв тільки письмове приладдя, подушку і матрац і носові хустки.

У перекладі з грецької мови паралелограм означає площину. Паралелепіпед – це призма, в основі якої лежить паралелограм. Існують п'ять типів паралелограма: похилий, прямий та прямокутний паралелепіпед. Куб і ромбоедр також відносяться до паралелепіпеда і є його різновидом.

Перед тим як перейти до основних понять, дамо деякі визначення:

Діагоналлю паралелепіпеда є відрізок, який об'єднує вершини паралелепіпеда, що знаходяться навпроти один одного.
Якщо дві грані мають спільне ребро, можна назвати їх суміжними ребрами. Якщо ж загального ребра немає, то межі називаються протилежними.
Дві вершини, що не лежать на одній грані, називаються протилежними.

Які властивості має паралелепіпед?

Грані паралелепіпеда, що лежать на протилежних сторонах, паралельні один одному і рівні між собою.
Якщо провести діагоналі з однієї вершини до іншої, то точка перетину цих діагоналей розділить їх навпіл.
Сторони паралелепіпеда лежать під тим самим кутом до основи будуть рівні. Іншими словами, кути співспрямованих сторін будуть рівними між собою.

Які види паралелепіпеда бувають?

Тепер розберемося у тому, які паралелепіпеди бувають. Як згадується вище, існує кілька типів цієї постаті: прямий, прямокутний, похилий паралелепіпед, і навіть куб і ромбоэдр. Чим вони відрізняються між собою? Вся справа в площинах і кутах, які вони утворюють.

Розберемося докладніше з кожним із перелічених видів паралелепіпеда.

Як вже зрозуміло з назви, похилий паралелепіпед має похилі грані, а саме такі грані, які знаходяться по відношенню до основи не під кутом 90 градусів.
А ось у прямого паралелепіпеда кут між основою та гранню якраз становить дев'яносто градусів. Саме з цієї причини цей вид паралелепіпеда має таку назву.
Якщо всі грані паралелепіпеда – це однакові квадрати, можна вважати цю фігуру кубом.
Прямокутний паралелепіпед отримав таку назву через площин, що утворюють його. Якщо всі вони є прямокутниками (і основа в тому числі), то це прямокутний паралелепіпед. Такий вид паралелепіпеда зустрічається не так часто. У перекладі з грецького ромбоедр означає грань чи основу. Так називають тривимірну фігуру, яка має гранями ромби.

Основні формули для паралелепіпеда

Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на його висоту, перпендикулярну до основи.

Площа бічної поверхні дорівнюватиме добутку периметра основи на висоту.
Знаючи основні визначення та формули можна обчислити площу основи та обсяг. Підставу можна вибрати на свій розсуд. Однак, як правило, як основа використовується прямокутник.

Або (рівносильно) багатогранник, у якого шість граней та кожна з них - паралелограм.

Типи паралелепіпеда

Розрізняється кілька типів паралелепіпедів:

Прямокутний паралелепіпед - це паралелепіпед, у якого всі грані - прямокутники.
Прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, у якого 4 бічні грані прямокутники.
Похилий паралелепіпед - це паралелепіпед, бічні грані якого не перпендикулярні основам.

Основні елементи

Дві грані паралелепіпеда, які мають загального ребра, називаються протилежними, а мають спільне ребро - суміжними. Дві вершини паралелепіпеда, що не належать до однієї грані, називаються протилежними. Відрізок, що з'єднує протилежні вершини, називається діагоналлю паралелепіпеда. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають загальну вершину, називають його вимірами.

Властивості

Паралелепіпед симетричний щодо середини його діагоналі.
Будь-який відрізок з кінцями, що належать поверхні паралелепіпеда і проходить через середину діагоналі, ділиться нею навпіл; зокрема, всі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.
Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.
Квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Основні формули

Прямий паралелепіпед

Площа бічної поверхні S б =Р про *h, де Р про - периметр основи, h - висота

Площа повної поверхні S п =S б +2S про, де S про - площа основи

Об `єм V=S про *h

Прямокутний паралелепіпед

Площа бічної поверхні S б =2c(a+b), де a, b - сторони основи, c - бічне ребро прямокутного паралелепіпеда

Площа повної поверхні S п =2(ab+bc+ac)

Об `єм V=abc, де a, b, c - виміри прямокутного паралелепіпеда.

Куб

Площа поверхні: $S=6a^2$
Об `єм: $V=a^3$ , де $a$ - Ребро куба.

Довільний паралелепіпед

Обсяг та співвідношення у похилому паралелепіпеді часто визначаються за допомогою векторної алгебри. Обсяг паралелепіпеда дорівнює абсолютній величині змішаного добутку трьох векторів, що визначаються трьома сторонами паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини. Співвідношення між довжинами сторін паралелепіпеда та кутами між ними дає твердження, що визначник Граму зазначених трьох векторів дорівнює квадрату їх змішаного твору:215.

У математичному аналізі

У математичному аналізі під n-мірним прямокутним паралелепіпедом $B$ розуміють безліч точок $x = (x_1, \ ldots, x_n)$ виду $B = $x|a_1\leqslant x_1\leqslant b_1,\ldots,a_n\leqslant x_n\leqslant b_n$$

Напишіть відгук про статтю "Паралелепіпед"

Примітки

Посилання

Правильні

Правильні
невипуклі

Випуклі

Формули
теореми,
теорії

Інше

Уривок, що характеризує Паралелепіпед

- Говорять, що суперники примирилися завдяки цій хворобі.
Слово angine повторювалося з великим задоволенням.
— Старий граф дуже зворушливий, кажуть. Він заплакав, як дитя, коли лікар сказав, що лікар. випадок небезпечний.]
- Oh, ce serait une perte terrible. C"est une femme ravissante. [О, це була б велика втрата. Така чарівна жінка.]
- Vous parlez de la pauvre comtesse, - сказала, підходячи, Ганна Павлівна. - Я маю на увазі, що я можу сказати, що я allait un peu mieux. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne 'empeche pas del estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Ви кажете про бідну графиню… Я посилала дізнаватися про її здоров'я. Мені сказали, що їй трохи краще. О, без сумніву, це найпрекрасніша жінка у світі. Ми належимо до різних таборів, але це не заважає мені поважати її за її заслугами. Вона така нещасна.] – додала Ганна Павлівна.
Вважаючи, що цими словами Ганна Павлівна злегка піднімала завісу таємниці над хворобою графині, один необережний хлопець дозволив собі висловити здивування, що не покликані відомі лікарі, а лікує графиню шарлатан, який може дати небезпечні засоби.
– Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes, – раптом отруйно напустила Ганна Павлівна на недосвідченого хлопця. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C'est le medecin intime de la Reine d'Espagne. [Ваші звістки можуть бути вірнішими за мої... але я з хороших джерел знаю, що цей лікар дуже вчений і майстерний чоловік. Це - лейб медик королеви іспанської.] - І таким чином знищивши молодика, Ганна Павлівна звернулася до Білібіна, який в іншому гуртку, підібравши шкіру і, мабуть, збираючись розпустити її, щоб сказати un mot, говорив про австрійців.
- Je trouve que c'est charmant! [Я знаходжу, що це чарівно!] - говорив він про дипломатичний папір, при якому відправлені були до Відня австрійські прапори, взяті Вітгенштейном, le heros de Petropol [героєм Петрополя] (як його називали в Петербурзі).
– Як, як це? - Звернулася до нього Ганна Павлівна, збуджуючи мовчання для почути mot, яке вона вже знала.
І Білібін повторив такі справжні слова дипломатичної депеші, ним складеної:
- L'Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens, - сказав Білібін, - drapeaux amis et egares qu'il a trouve hors de la route, [Імператор відсилає австрійські прапори, дружні та заблукали прапори, які він знайшов поза справжньою дорогою]. , розпускаючи шкіру.
- Charmant, charmant, - сказав князь Василь.
- Це голосно і несподівано сказав князь Іполит. Всі озирнулися на нього, не розуміючи того, що він хотів сказати цим. Він так само, як і інші, не розумів того, що означали сказані ним слова, він під час своєї дипломатичної кар'єри не раз помічав, що таким чином раптом слова виявлялися дуже дотепними, і він про всяк випадок сказав ці слова, перші, хто прийшов йому на язик: «Може, вийде дуже добре, — думав він, — а якщо не вийде, вони там зможуть це влаштувати.» Дійсно, коли запанувала незграбна мовчанка, увійшло те недостатньо патріотичне обличчя, якого чекала звернення. Ганна Павлівна, і вона, посміхаючись і погрозивши пальцем Іполиту, запросила князя Василя до столу, і, підносячи йому дві свічки та рукопис, попросила його почати.

Визначення

Багатогранникомназиватимемо замкнуту поверхню, складену з багатокутників і обмежує деяку частину простору.

Відрізки, що є сторонами цих багатокутників, називаються ребрамибагатогранника, а самі багатокутники – гранями. Вершини багатокутників називаються вершинами багатогранника.

Розглянемо тільки опуклі багатогранники (це такий багатогранник, який знаходиться по одну сторону від кожної площини, що містить його грань).

Багатокутники, у тому числі складений багатогранник, утворюють його поверхню. Частина простору, яку обмежує цей багатогранник, називається його начинкою.

Визначення: призма

Розглянемо два рівні багатокутники $A_1A_2A_3...A_n$ і $B_1B_2B_3...B_n$ , що знаходяться в паралельних площинах так, що відрізки $A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n$паралельні. Багатогранник, утворений багатокутниками $A_1A_2A_3...A_n$ та $B_1B_2B_3...B_n$ , а також паралелограмами $A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...$називається ($n$ -вугільною) призмою.

Багатокутники $A_1A_2A_3...A_n$ та $B_1B_2B_3...B_n$ називаються основами призми, паралелограми $A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...$– бічними гранями, відрізки $A_1B_1, \A_2B_2, \..., A_nB_n$– бічними ребрами.
Таким чином, бічні ребра призми паралельні та рівні між собою.

Розглянемо приклад – призма $A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5$, на основі якої лежить опуклий п'ятикутник.

Висотапризми – це перпендикуляр, опущений із будь-якої точки однієї основи до площини іншої основи.

Якщо бічні ребра не перпендикулярні до основи, то така призма називається похилій(рис. 1), інакше – прямий. У прямій призми бічні ребра є висотами, а бічні грані – рівними прямокутниками.

Якщо в основі прямої призми лежить правильний багатокутник, то призма називається правильною.

Визначення: поняття обсягу

Одиниця виміру обсягу – одиничний куб (куб розмірами $1\times1\times1$ од$^3$, де од - деяка одиниця виміру).

Можна сміливо сказати, що обсяг багатогранника – це величина простору, яку обмежує цей багатогранник. Інакше: це величина, числове значення якої показує, скільки разів одиничний куб та його частини вміщуються у цей багатогранник.

Об'єм має ті ж властивості, що й площа:

1. Обсяги рівних фігур рівні.

2. Якщо багатогранник складений з декількох багатогранників, що не перетинаються, то його обсяг дорівнює сумі обсягів цих багатогранників.

3. Обсяг – величина невід'ємна.

4. Об'єм вимірюється в см$^3$ (кубічні сантиметри), м$^3$ (кубічні метри) і т.д.

Теорема

1. Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра основи висоту призми.
Площа бічної поверхні – сума площ бічних граней призми.

2. Обсяг призми дорівнює добутку площі підстави на висоту призми: \

Визначення: паралелепіпед

Паралелепіпед- Це призма, в основі якої лежить паралелограм.

Всі грані паралелепіпеда (їх $6$ : $4$ бічні грані і $2$ основи) є паралелограмами, причому протилежні грані (паралельні один одному) є рівними паралелограмами (рис. 2).

Діагональ паралелепіпеда- Це відрізок, що з'єднує дві вершини паралелепіпеда, що не лежать в одній грані (їх \ (8 \): $AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D$і т.д.).

Прямокутний паралелепіпед- це прямий паралелепіпед, в основі якого лежить прямокутник.
Т.к. це прямий паралелепіпед, то бічні грані є прямокутниками. Значить взагалі всі грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.

Всі діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні (це випливає з рівності трикутників $\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D$і т.д.).

Зауваження

Таким чином, паралелепіпед має всі властивості призми.

Теорема

Площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює \

Площа повної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює \

Теорема

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його ребер, що виходять з однієї вершини (три виміри прямокутного паралелепіпеда): \

Доказ

Т.к. у прямокутного паралелепіпеда бічні ребра перпендикулярні до основи, то є і його висотами, тобто $h=AA_1=c$ Т.к. в основі лежить прямокутник, то $S_(\text(осн))=AB\cdot AD=ab$. Звідси і випливає ця формула.

Теорема

Діагональ $d$ прямокутного паралелепіпеда шукається за формулою (де $a,b,c$ - вимірювання паралелепіпеда) \

Доказ

Розглянемо рис. 3. Т.к. в основі лежить прямокутник, то $\triangle ABD$ - прямокутний, отже, за теоремою Піфагора $BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2$ .

Т.к. всі бічні ребра перпендикулярні основам, то $BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1$перпендикулярно будь-якої прямої у цій площині, тобто. $BB_1\perp BD$ . Значить $\triangle BB_1D$ - прямокутний. Тоді за теоремою Піфагора $B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2$, Чтд.

Визначення: куб

Куб- це прямокутний паралелепіпед, усі грані якого – рівні квадрати.