Площею бічної поверхні прямої призми називається. Пряма призма - гіпермаркет знань. Вказівки до вирішення завдань
Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здавання Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин та без помилок!
Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.
Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 з Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.
Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.
Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості та легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.
Площа бокової поверхні призми. Доброго дня! У цій публікації ми з вами розберемо групу завдань із стереометрії. Розглянемо комбінацію тіл – призми та циліндра. На даний момент ця стаття завершує всю серію статей, пов'язаних з розглядом типів завдань із стереометрії.
Якщо в банку завдань будуть з'являтися нові, то, звісно, будуть і доповнення на блозі в майбутньому. Але й того, що вже є цілком достатньо, щоб ви могли навчитися вирішувати всі завдання з короткою відповіддю у складі іспиту. Матеріалу вистачить на роки вперед (програма математики статична).
Подані завдання пов'язані з обчисленням площі призми. Відзначу, що нижче розглядається пряма призма (і відповідно прямий циліндр).
Без знання будь-яких формул, ми розуміємо, що бічна поверхня призми це її бічні грані. У прямої призми бічні грані – це прямокутники.
Площа бічної поверхні такої призми дорівнює сумі площ її бічних граней (тобто прямокутників). Якщо йдеться про правильну призму, в яку вписаний циліндр, то зрозуміло, що всі грані цієї призми є рівними прямокутниками.
Формально площу бічної поверхні правильної призми можна відобразити так:
27064. Правильна чотирикутна призма описана біля циліндра, радіус основи та висота якого дорівнюють 1. Знайдіть площу бічної поверхні призми.
Бічна поверхня цієї призми складається з чотирьох рівних за площею прямокутників. Висота грані дорівнює 1, ребро підстави призми дорівнює 2 (це два радіуси циліндра), отже площа бічної грані дорівнює:
Площа бічної поверхні:
73023. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної призми, описаної біля циліндра, радіус основи якого дорівнює √0,12, а висота дорівнює 3.
Площа бічної поверхні цієї призми дорівнює сумі площ трьох бічних граней (прямокутників). Для знаходження площі бічної грані необхідно знати її висоту та довжину ребра основи. Висота дорівнює трьом. Знайдемо довжину ребра основи. Розглянемо проекцію (вид зверху):
Маємо правильний трикутник, в який вписано коло з радіусом √0,12. З прямокутного трикутника АОС можемо виявити АС. А потім AD (AD=2АС). За визначенням тангенсу:
Отже AD=2АС=1,2.Таким чином, площа бічної поверхні дорівнює:
27066. Знайдіть площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, описаної біля циліндра, радіус основи якого дорівнює √75, а висота дорівнює 1.
Шукана площа дорівнює сумі площ усіх бічних граней. У правильної шестикутної призми бічні грані – це рівні прямокутники.
Для знаходження площі грані необхідно знати її висоту та довжину ребра основи. Висота відома, вона дорівнює 1.
Знайдемо довжину ребра основи. Розглянемо проекцію (вид зверху):
Маємо правильний шестикутник, в який вписано коло радіусу √75.
Розглянемо прямокутний трикутник АВО. Нам відомий катет ВВ (це радіус циліндра). ще можемо визначити кут АОВ, він дорівнює 300 (трикутник АОС рівносторонній, ОВ-бісектриса).
Скористаємося визначенням тангенсу у прямокутному трикутнику:
АС=2АВ, оскільки ОВ є медіаною, тобто ділить АС навпіл, отже АС=10.
Таким чином, площа бічної грані дорівнює 1∙10=10 та площа бічної поверхні:
76485. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної призми, вписаної в циліндр, радіус основи якого дорівнює 8√3, а висота дорівнює 6.
Площа бічної поверхні зазначеної призми із трьох рівних за площею граней (прямокутників). Щоб знайти площу, потрібно знати довжину ребра основи призми (висота нам відома). Якщо розглядати проекцію (вид зверху), маємо правильний трикутник вписаний в окружність. Сторона цього трикутника виражається через радіус як:
Подробиці цього взаємозв'язку. Значить вона дорівнюватиме
Тоді площа бічної грані дорівнює: 24 6 = 144. А потрібна площа:
245354. Правильна чотирикутна призма описана біля циліндра, радіус основи якого дорівнює 2. Площа бічної поверхні призми дорівнює 48. Знайдіть висоту циліндра.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.
Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.
Визначення 1. Призматична поверхня
Теорема 1. Про паралельні перерізи призматичної поверхні
Визначення 2. Перпендикулярний переріз призматичної поверхні
Визначення 3. Призма
Визначення 4. Висота призми
Визначення 5. Пряма призма
Теорема 2. Площа бічної поверхні призми
Паралелепіпед:
Визначення 6. Паралелепіпед
Теорема 3. Про перетин діагоналі паралелепіпеда
Визначення 7. Прямий паралелепіпед
Визначення 8. Прямокутний паралелепіпед
Визначення 9. Вимірювання паралелепіпеда
Визначення 10. Куб
Визначення 11. Ромбоедр
Теорема 4. Про діагоналі прямокутного паралелепіпеда
Теорема 5. Обсяг призми
Теорема 6. Обсяг прямої призми
Теорема 7. Об'єм прямокутного паралелепіпеда
Призмоюназивається багатогранник, у якого дві грані (основи) лежать у паралельних площинах, а ребра, що не лежать у цих гранях, паралельні між собою.
Грані, відмінні від основ, називаються бічними.
Сторони бічних граней та підстав називаються ребрами призми, кінці ребер називаються вершинами призми. Боковими ребраминазиваються ребра, що не належать основам. Об'єднання бічних граней називається бічною поверхнею призми, а об'єднання всіх граней називається повною поверхнею призми. Висотою призминазивається перпендикуляр, опущений з точки верхньої основи на площину нижньої основи або довжина перпендикуляра. 
Прямою призмоюназивається призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площин основ. 
Правильноюназивається пряма призма (Рис.3), основу якої лежить правильний багатокутник.
Позначення:
l - бічне ребро;
P – периметр основи;
S o - площа основи;
H – висота;
P^ - периметр перпендикулярного перерізу;
S б - площа бічної поверхні;
V – обсяг;
S п – площа повної поверхні призми.
|
V = SH |
*При цьому передбачається, що кожні дві послідовні площини перетинаються і що остання площина перетинає першу
Теорема 1 . Перерізи призматичної поверхні площинами, паралельними між собою (але не паралельними її ребрам), є рівними багатокутниками.
Нехай ABCDE та A"B"C"D"E" - перерізи призматичної поверхні двома паралельними площинами. Щоб переконатися, що ці два багатокутники рівні, достатньо показати, що трикутники ABC і А"В"С" рівні і мають однаковий напрямок обертання що те саме має місце і для трикутників ABD та A"B"D", ABE та А"В"Е". Але відповідні сторони цих трикутників паралельні (наприклад, АС паралельно А"С") як лінії перетину деякої площини з двома паралельними площинами; звідси випливає, що ці сторони рівні (наприклад АС дорівнює А "С") як протилежні сторони паралелограма і що кути, утворені цими сторонами, рівні та мають однаковий напрямок.
Визначення 2 . Перпендикулярним перетином призматичної поверхні називається переріз цієї поверхні площиною, перпендикулярною до її ребер. На підставі попередньої теореми всі перпендикулярні перерізи однієї і тієї ж призматичної поверхні будуть рівними багатокутниками.
Визначення 3
. Призмою називається багатогранник, обмежений призматичною поверхнею та двома площинами, паралельними між собою (але непаралельними ребрами призматичної поверхні)
Грані, що лежать у цих останніх площинах, називаються підставами призми; грані, що належать призматичній поверхні, - бічними гранями; ребра призматичної поверхні - бічними ребрами призми. З огляду на попередню теорему, підстави призми - рівні багатокутники. Усі бічні грані призми - паралелограми; всі бічні ребра рівні між собою.
Очевидно, що якщо дано основу призми ABCDE і одне з ребер АА" за величиною та за напрямом, то можна побудувати призму, проводячи ребра ВВ", СС", .., рівні та паралельні ребру АА".
Визначення 4 . Висотою призми називається відстань між площинами її основ (НH).
Визначення 5
. Призма називається прямою, якщо її основами є перпендикулярні перерізи призматичної поверхні. І тут висотою призми служить, звісно, її бічне ребро; бічні грані будуть прямокутниками.
Призми можна класифікувати за кількістю бічних граней, що дорівнює кількості сторін багатокутника, що служить її основою. Таким чином, призми можуть бути трикутні, чотирикутні, п'ятикутні тощо.
Теорема 2
. Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку бічного ребра на периметр перпендикулярного перерізу.
Нехай ABCDEA"B"C"D"E" - дана призма і abcde - її перпендикулярний перетин, так що відрізки ab, bc, .. перпендикулярні до її бічних ребрів. на висоту, яка збігається з аb; площа грані ВСВ"С" дорівнює добутку підстави ВВ" на висоту bc і т. д. Отже, бічна поверхня (тобто сума площ бічних граней) дорівнює добутку бічного ребра, інакше кажучи, загальної довжини відрізків АА", ВВ", .., на суму ab+bc+cd+de+еа.
У шкільній програмі з курсу стереометрії вивчення об'ємних фігур зазвичай починається з простого геометричного тіла – багатогранника призми. Роль її основ виконують 2 рівні багатокутники, що лежать у паралельних площинах. Окремим випадком є правильна чотирикутна призма. Її основами є 2 однакові правильні чотирикутники, до яких перпендикулярні бічні сторони, що мають форму паралелограмів (або прямокутників, якщо призма не похила).
Як виглядає призма
Правильною чотирикутною призмою називається шестигранник, в підставах якого знаходяться 2 квадрати, а бічні грані представлені прямокутниками. Інша назва для цієї геометричної фігури – прямий паралелепіпед.
Рисунок, на якому зображено чотирикутну призму, показано нижче.
На зображенні також можна побачити найважливіші елементи, у тому числі складається геометричне тіло. До них прийнято відносити:
Іноді в завданнях геометрії можна зустріти поняття перерізу. Визначення звучатиме так: перетин - це всі точки об'ємного тіла, що належать січній площині. Перетин буває перпендикулярним (перетинає ребра фігури під кутом 90 градусів). Для прямокутної призми також розглядається діагональний переріз (максимальна кількість перерізів, яких можна побудувати - 2), що проходить через 2 ребра та діагоналі основи.
Якщо перетин намальовано так, що січна площина не паралельна ні основам, ні бічним граням, в результаті виходить усічена призма.
Для знаходження наведених призматичних елементів використовуються різні відносини та формули. Частина їх відома з курсу планіметрії (наприклад, знаходження площі підстави призми досить згадати формулу площі квадрата).
Площа поверхні та обсяг
Щоб визначити обсяг призми за формулою, необхідно знати площу її основи та висоту:
V = Sосн · h
Оскільки основою правильної чотиригранної призми є квадрат зі стороною a,можна записати формулу у більш докладному вигляді:
V = a²·h
Якщо йдеться про куб - правильну призму з рівною довжиною, шириною і висотою, обсяг обчислюється так:
Щоб зрозуміти, як знайти площу бічної поверхні призми, необхідно уявити її розгортку.
З креслення видно, що бічна поверхня складена з чотирьох рівних прямокутників. Її площа обчислюється як добуток периметра основи на висоту фігури:
Sбік = Pосн · h
З огляду на те, що периметр квадрата дорівнює P = 4a,формула набуває вигляду:
Sбік = 4a·h
Для куба:
Sбік = 4a²
Для обчислення площі повної поверхні призми потрібно до бічної площі додати 2 площі підстав:
Sповн = Sбік + 2Sосн
Стосовно чотирикутної правильної призми формула має вигляд:
Sповн = 4a·h + 2a²
Для площі поверхні куба:
Sповн = 6a²
Знаючи обсяг чи площу поверхні, можна обчислити окремі елементи геометричного тіла.
Знаходження елементів призми
Часто зустрічаються завдання, у яких дано обсяг або відома величина бічної площі поверхні, де необхідно визначити довжину сторони основи чи висоту. У разі формули можна вивести:
- довжина сторони основи: a = Sбік / 4h = √(V/h);
- довжина висоти або бічного ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
- площа основи: Sосн = V/h;
- площа бічної грані: Sбік. гр = Sбік / 4.
Щоб визначити, яку площу має діагональний переріз, необхідно знати довжину діагоналі та висоту фігури. Для квадрата d = a√2.З цього слід:
Sдіаг = ah√2
Для обчислення діагоналі призми використовується формула:
dприз = √(2a² + h²)
Щоб зрозуміти, як застосовувати наведені співвідношення, можна попрактикуватися і вирішити кілька нескладних завдань.
Приклади завдань із рішеннями
Ось кілька завдань, які у державних підсумкових іспитах з математики.
Завдання 1.
У коробку, що має форму правильної чотирикутної призми, насипаний пісок. Висота його рівня становить 10 см. Яким стане рівень піску, якщо перемістити його в ємність такої ж форми, але з довжиною основи вдвічі більше?
Слід розмірковувати так. Кількість піску в першій та другій ємності не змінювалося, тобто його обсяг у них збігається. Можна позначити довжину основи за a. У такому випадку для першої коробки обсяг речовини становитиме:
V₁ = ha² = 10a²
Для другої коробки довжина основи становить 2a, але невідома висота рівня піску:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Оскільки V₁ = V₂, Можна прирівняти вирази:
10a² = 4ha²
Після скорочення обох частин рівняння на a² виходить:
В результаті новий рівень піску становитиме h = 10/4 = 2,5див.
Завдання 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна призма. Відомо, що BD = AB₁ = 6√2. Знайти площу повної поверхні тіла.
Щоб було простіше зрозуміти, які елементи відомі, можна зобразити фігуру.
Оскільки йдеться про правильну призму, можна зробити висновок, що на підставі знаходиться квадрат з діагоналлю 6√2. Діагональ бічної грані має таку ж величину, отже, бічна грань теж має форму квадрата, рівного підставі. Виходить, що всі три виміри – довжина, ширина та висота – рівні. Можна зробити висновок, що ABCDA₁B₁C₁D₁ є кубом.
Довжина будь-якого ребра визначається через відому діагональ:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Площа повної поверхні знаходиться за формулою для куба:
Sповн = 6a² = 6·6² = 216
Завдання 3.
У кімнаті виконується ремонт. Відомо, що її підлога має форму квадрата із площею 9 м². Висота приміщення становить 2,5 м. Яка найменша вартість обклеювання кімнати шпалерами, якщо 1 м² коштує 50 рублів?
Оскільки підлога та стеля є квадратами, тобто правильними чотирикутниками, і стіни її перпендикулярні горизонтальним поверхням, можна зробити висновок, що вона є правильною призмою. Необхідно визначити площу її бічної поверхні.
Довжина кімнати складає a = √9 = 3м.
Шпалери буде обклеєна площа Sбок = 4 · 3 · 2,5 = 30 м².
Найнижча вартість шпалер для цієї кімнати складе 50 · 30 = 1500карбованців.
Таким чином, для вирішення задач на прямокутну призму достатньо вміти обчислювати площу та периметр квадрата та прямокутника, а також володіти формулами для знаходження об'єму та площі поверхні.
Як знайти площу куба
