Презентація на тему: Ознака перпендикулярності прямої та площини

1 із 24

Презентація на тему:Ознака перпендикулярності прямої та площини

№ слайду 1

Опис слайду:

№ слайду 2

Опис слайду:

Цілі уроку: Матеріали цього уроку знайомлять з ознакою перпендикулярності прямої та площини та властивостями перпендикулярних до прямої та площини. Навколишній світ дає багато прикладів перпендикулярності прямої і площині. Правильно встановлений вертикальний стовп перпендикулярний до поверхні землі. Лінії перетину стінок кімнати перпендикулярні до площини підлоги. При будівництві при установці стовпів для їх стійкості дуже важливо забезпечити перпендикулярність до поверхні землі. Для цього існують спеціальні способи перевірки перпендикулярності, засновані на ознакі перпендикулярності прямої та площини та властивостях перпендикулярних до прямої та площини, які ми й вивчатимемо. Вивчивши матеріали попереднього уроку, ви познайомилися з визначенням та властивостями перпендикулярних прямих, з визначенням прямої перпендикулярної до площини. Повторіть ці матеріали. Це допоможе вам правильно відповісти на запитання тесту, який перевіряє ваші знання на тему «Перпендикулярні прямі».

№ слайда 3

Опис слайду:

Перпендикулярні прямі Дві прямі у просторі називаються перпендикулярними (взаємно перпендикулярними), якщо кут між ними дорівнює 900. Для позначення перпендикулярності використовується знак ┴. На малюнку пряма m перпендикулярна до прямої n або m┴n. Лемма про перпендикулярні прямі Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої прямої, то й інша пряма перпендикулярна до цієї прямої. Символічно цю лему можна записати так

№ слайда 4

Опис слайду:

Пряма, перпендикулярна до площини Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої на цій площині. Для позначення перпендикулярності використовується знак ┴. На малюнку зображено пряму а, перпендикулярну площині a або а┴α.

№ слайда 5

Опис слайду:

Теорема про дві паралельні прямі і площину Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й інша пряма перпендикулярна до цієї площини. Символічно цю теорему можна записати так Теорема про дві прямі, перпендикулярні до площини Якщо дві прямі перпендикулярні до площини, то вони паралельні один одному. Символічно цю теорему можна записати так

№ слайду 6

Опис слайду:

Ознака перпендикулярності прямої та площини Напевно, кожному доводилося вкопувати штанги футбольних воріт. До перекладини часом і не доходило. Як важливо при цьому було встановити штангу так, щоб вона була перпендикулярна поверхні землі. Якщо використовувати визначення перпендикулярності прямої до площини, тоді слід перевіряти перпендикулярність штанги до кожної прямої на футбольному полі. А чи не можна обмежитися меншою кількістю перевірок? Виявляється, можна. Але однієї перевірки явно замало. Якщо ця пряма перпендикулярна лише до однієї прямої на площині, вона не перпендикулярна до самої площині (рис.3). Вона може і лежати у цій площині. Якщо ж пряма перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, лежать у площині, то вона перпендикулярна самій площині (рис.4). Це твердження називається ознакою перпендикулярності прямої та площини та формулюється у вигляді теореми. Таким чином, щоб встановити штангу воріт перпендикулярно площині поля, достатньо перевірити її перпендикулярність, подивившись на неї з двох різних, але не протилежних сторін.

№ слайду 7

Опис слайду:

Теорема Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, лежать у площині, то вона перпендикулярна до цієї площини. Нехай b┴q; b┴p; p a; q a; p ∩ q=O. Доведемо, що b┴a. Для цього потрібно довести, що пряма b перпендикулярна до будь-якої (довільної) прямої m на площині a. Розглянемо спочатку випадок, коли пряма b проходить через точку перетину О. Проведемо через точку пряму l, паралельну прямій m. Зазначимо на прямій b точки А і В, рівновіддалені від точки O, і проведемо в площині a пряму, що перетинає прямі p, l і q відповідно в точках P, L і Q. Оскільки прямі p і q – серединні перпендикуляри, то АР= ВР та AQ=BQ. Отже, ∆APQ=∆BPQ (з трьох сторін). Тоді APL= BPL і ∆ APL= ∆ BPL (по обидва боки та кутку). Тоді AL = BL. Отже, ∆ALB – рівнобедрений, відрізок LO є медіаною та висотою у цьому трикутнику, AОL=900 та b┴l. Бо l || m, то b┴m (по лемі про перпендикулярні прямі), тобто b┴a.

№ слайду 8

Опис слайду:

Розглянемо тепер випадок, коли пряма а чи не проходить через точку О, але а┴q; а┴p. Проведемо через точку Про пряму, паралельну до прямої а. Ця пряма перпендикулярна прямим p і q (по лемі перпендикулярних прямих) і, отже, збігається з прямою b. Оскільки b┴a та b||a, то а┴a (за теоремою про дві паралельні прямі та площину). Теорему доведено. Символічно цю теорему можна записати так Доведемо дві теореми, що обґрунтовують існування площини, що проходить через дану точку і перпендикулярна даній прямій та існування прямої, що проходить через дану точку і перпендикулярна до даної площини. При доказі цих теорем буде використано ознаку перпендикулярності прямої та площини.

№ слайду 9

Опис слайду:

Площина, перпендикулярна до прямої Теорема Через будь-яку точку простору проходить площина, перпендикулярна до цієї прямої і до того ж лише одна. Позначимо дану пряму літерою а, а довільну точку простору – літерою М. 1. Доведемо існування площини, перпендикулярної до прямої а і проходить через точку М. Проведемо через пряму а дві площини і так, щоб площина проходила через точку М.. У площині проведемо через точку М пряму р, перпендикулярну прямій а і перетинає її в точці А. У площині проведемо пряму q, перпендикулярну до прямої а і проходить через точку А. Розглянемо площину, що проходить через прямі p і q. Ця площина перпендикулярна до прямої а (за ознакою перпендикулярності прямої та площини) і проходить через довільну точку М. Отже, це потрібна площина. Існування підтверджено.

№ слайду 10

Опис слайду:

2. Доведемо єдиність такої площини. Проведемо доказ протилежного. Нехай існують дві площини і проходять через точку М і перпендикулярні до прямої а. Але тоді || . Але площині і не можуть бути паралельними один одному, тому що мають загальну точку М. Отже наше припущення невірно і існує тільки одна площина, що проходить через довільну точку простору перпендикулярно даної прямої. Єдиність доведена.

№ слайду 11

Опис слайду:

Теорема про пряму, перпендикулярну до площини Через будь-яку точку простору проходить пряма, перпендикулярна даній площині і до того ж лише одна. Позначимо дану площину літерою a, а довільну точку простору – літерою М. 1. Доведемо існування прямої, перпендикулярної площини та проходить через точку М. Проведемо у площині пряму b. Через точку М проведемо площину, перпендикулярну до прямої b (це ми можемо зробити на підставі попередньої теореми про площину перпендикулярної до прямої). Нехай з загальна пряма площин і. Проведемо в площині через точку М пряму а, перпендикулярну до прямої с. Тоді пряма а перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, лежать у площині. Отже, пряма а перпендикулярна площині a (за ознакою перпендикулярності прямої та площини). Отже, а - пряма. Існування підтверджено.

№ слайду 12

Опис слайду:

2. Доведемо єдиність такої прямої. Проведемо доказ протилежного. Нехай існує дві прямі а та а1, що проходять через точку М та перпендикулярні площині a. Але тоді а||а1 (див. теорему про дві прямі, перпендикулярні до площини). Але прямі а і а1 не можуть бути паралельними один одному, тому що мають загальну точку М. Отже наше припущення неправильне і існує тільки одна пряма, що проходить через довільну точку простору перпендикулярно даної площині. Єдиність доведена.

№ слайду 13

Опис слайду:

Приклади завдань на підтвердження. Приклади задач на обчислення Дано: площину (АВС), МВ┴АВ, МВ┴ВС, D(АВС). Довести: MBD - прямокутний. Доказ. МВ┴АВ, МВ┴ВС. Отже, МВ┴(АВС) (за ознакою перпендикулярності прямої та площини). Тоді МВ┴BD (за визначенням прямої, перпендикулярної до площини). Отже, DBM=900 і ∆MBD – прямокутний, що потрібно було довести.

№ слайду 14

Опис слайду:

Дано: АВСD - квадрат, МА┴, АВСD. Довести: BD┴МО. Доказ. МА┴, отже, МА┴ВD (за визначенням прямою, перпендикулярною до площини). ВD┴АТ (за якістю квадрата). Тоді ВD┴(АОМ) (за ознакою перпендикулярності прямої та площини – BD перпендикулярна двом пересічним прямому АТ і МА, що лежить у цій площині). Отже, BD┴МО (за визначенням прямої, перпендикулярної до площини), що потрібно було довести.

Опис слайду:

Перевір себе. Перпендикулярні прямі Перед Вами записані речення, розбиті на дві частини. Подумайте, який з варіантів потрібно вибрати, щоб вийшла правильна пропозиція. Введіть номер вибраного варіанту. Якщо дві прямі паралельні до третьої прямої, то всі три прямі завжди лежать в одній площині. то вони схрещуються один з одним. то вони паралельні один одному. то вони перпендикулярні одна до одної.

№ слайду 19

Опис слайду:

Перевір себе. Перпендикулярні прямі Перед Вами записані речення, розбиті на дві частини. Подумайте, який з варіантів потрібно вибрати, щоб вийшла правильна пропозиція. Введіть номер вибраного варіанту. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, то вона належить іншій площині. то інша площина не перпендикулярна даній прямій. вона перпендикулярна і інший площині. вона завжди паралельна інший площині.

Опис слайду:

№ слайда 24

Опис слайду:

Домашнє завдання: Л.С.Атанасян та ін. Геометрія. Підручник для 10–11 класів середньої школи. 1. Вправа 129 б) Пряма АМ перпендикулярна до площини квадрата ABCD, діагоналі якого перетинаються у точці О. Доведіть, що МО^MD. 2. Вправа 131 У тетраедрі ABCD точка М – середина ребра ПС, АВ=АС, DB=DC. Доведіть, що площина трикутника ADM перпендикулярна до прямої ПС. 3. Вправа 134 Доведіть, що всі прямі, що проходять через дану точку М прямої а та перпендикулярні до цієї прямої, лежать у площині, яка проходить через точку М та перпендикулярна до прямої а. 4. Вправа 137 Доведіть, що через кожну з двох взаємно перпендикулярних прямих, що схрещуються, проходить площина, перпендикулярна до іншої прямої.

Визначення. Пряма площина, що перетинає, називається перпендикулярною цій площині, якщо вона перпендикулярна будь-якій прямій, яка лежить в даній площині і проходить через точку перетину.
Ознакаперпендикулярності прямої та площині.Якщо пряма перпендикулярна двом прямим площині, що перетинається, то вона перпендикулярна даній площині.
Доказ. Нехай а- Пряма перпендикулярна прямим bі з, що належать площині a. А – точка перетину прямих. У площині aчерез точку А проведемо пряму d, що не збігається з прямими bі з. Тепер у площині aпроведемо пряму k, що перетинає прямі dі зі не проходить через точку А. Точки перетину відповідно D, В і С. Відкладемо на прямий ау різні боки від точки А рівні відрізки АА 1 та АА 2 . Трикутник А 1 СА 2 рівнобедрений, т.к. висота АС є також і медіаною (ознака 1), тобто. А 1 С = СА 2 . Подібно до трикутника А 1 ВА 2 рівні сторони А 1 В і ВА 2 . Отже, трикутники А 1 ВС та А 2 ВС рівні за третьою ознакою Тому рівні кути А 1 ВD та А 2 ВD. Отже, рівні трикутники А 1 ВD і А 2 ВD за першою ознакою . Тому А 1 D та А 2 D. Звідси трикутник А 1 DА 2 рівнобедрений за визначенням. У рівнобедреному трикутнику А 1 D А 2 DА – медіана (за побудовою), отже і висота, тобто кут А 1 АD прямий, отже пряма аперпендикулярна до прямої d.Таким чином, можна довести, що пряма аперпендикулярна будь-якій прямій, що проходить через точку А і належить площині a. З визначення слідує, що пряма аперпендикулярна площині a.

Побудовапрямої перпендикулярної даної площини з точки, взятої поза цією площиною.
Нехай a- Площина, А - точка, з якої треба опустити перпендикуляр. У площині проведемо деяку пряму а. Через точку А та пряму апроведемо площину b(Пряма і точка визначають площину, причому тільки одну). У площині bз точки А опустимо на пряму аперпендикуляр АВ. З точки В у площині aвідновимо перпендикуляр і позначимо пряму, на якій лежить цей перпендикуляр за з. Через відрізок АВ та пряму зпроведемо площину g(Дві прямі, що перетинаються, визначають площину, причому тільки одну). У площині gз точки А опустимо на пряму зперпендикуляр АС. Доведемо, що відрізок АС – перпендикуляр до площини b. Доказ. Пряма аперпендикулярна прямим зі АВ (за побудовою), а значить вона перпендикулярна до самої площини g, в якій лежать ці дві прямі, що перетинаються (за ознакою перпендикулярності прямої і площини). А якщо вона перпендикулярна цій площині, то вона перпендикулярна і будь-якій прямій у цій площині, значить пряма аперпендикулярна до АС. Пряма АС перпендикулярна двом прямим, що лежать у площині α: з(по побудові) та а(за доведеним), значить вона перпендикулярна площині α (за ознакою перпендикулярності прямої та площини)

Теорема 1 . Якщо дві прямі, що перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.
Доказ. Нехай аі b- перпендикулярні прямі, а 1 та b 1 - паралельні їм прямі, що перетинаються. Доведемо, що прямі а 1 та b 1 перпендикулярні.
Якщо прямі а, b, а 1 та b 1 лежать в одній площині, то вони мають зазначену в теоремі властивість, як це відомо з планіметрії.
Припустимо, що наші прямі не лежать в одній площині. Тоді прямі аі bлежать у деякій площині α , а прямі а 1 та b 1 - у деякій площині β. За ознакою паралельності площин площини і β паралельні. Нехай С - точка перетину прямих аі b, а С 1 - перетину прямих а 1 та b 1 . Проведемо в площині паралельних прямих аі а аі а 1 у точках А та А 1 . У площині паралельних прямих bі b 1 пряму, паралельну до прямої СС 1 . Вона перетне прямі bі b 1 у точках B та B 1 .
Чотирьохкутники САА 1 С 1 і СВВ 1 С 1 - паралелограми, так як у них протилежні сторони паралельні. Чотирьохкутник АВВ 1 А 1 також паралелограм. У нього сторони АА 1 і ВР 1 паралельні, тому що кожна з них паралельна прямій СС 1 .Таким чином чотирикутник лежить у площині, що проходить через паралельні прямі АА 1 і ВР 1 . А вона перетинає паралельні площини α і β паралельними прямі АВ і А 1 В 1 .
Так як у паралелограма протилежні сторони рівні, то АВ = А 1 В 1 АС = А 1 С 1 ВС = В 1 С 1 . За третьою ознакою рівності трикутники АВС та А 1 В 1 С 1 рівні. Отже, кут А 1 З 1 1 , рівний куту АСВ, прямий, тобто. прямі а 1 та b 1 перпендикулярні. Ч.т.д.

Властивостіперпендикулярні прямій і площині.
Теорема 2 . Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої.
Доказ. Нехай а 1 та а 2 - дві паралельні прямі та α - площина, перпендикулярна до прямої а 1 . Доведемо, що ця площина перпендикулярна та пряма а 2 .
Проведемо через точку А 2 перетину прямої а 2 з площиною α довільну пряму з 2 у площині α. Проведемо в площині через точку А 1 перетину прямої а 1 з площиною α пряму з 1 , паралельну прямий з 2 . Бо пряма а 1 перпендикулярна площині α то прямі а 1 та з 1 перпендикулярні. А за теоремою 1 паралельні ним прямі а 2 та з 2 теж перпендикулярні. Таким чином, пряма а 2 перпендикулярна будь-якій прямій з 2 у площині α. А це означає, що пряма а 2 перпендикулярна площині α. Теорему доведено.

Теорема 3 . Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї ж площини, паралельні між собою.
Маємо площину α і дві перпендикулярні до неї прямі аі b. Доведемо, що а || b.
Через точки перетину прямими площинами проведемо пряму з. За ознакою отримуємо а ^ cі b ^ c. Через прямі аі bпроведемо площину (дві паралельні прямі визначають площину і до того ж лише одну). У цій площині ми маємо дві паралельні прямі аі bі січну з. Якщо сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180о, то прямі паралельні. У нас якраз такий випадок – два прямі кути. Тому а || b.

Перпендикулярність у просторі можуть мати:

1. Дві прямі

3. Дві площини

Давай по черзі розглянемо ці три випадки: всі визначення та формулювання теорем, що відносяться до них. А потім обговоримо дуже важливу теорему про три перпендикуляри.

Перпендикулярність двох прямих.

Визначення:

Ти можеш сказати: теж мені відкрили Америку! Але згадай, що у просторі все не зовсім так, як на площині.

На площині перпендикулярними можуть бути тільки такі прямі (пересічні):

А ось перпендикулярність у просторі двох прямих може бути навіть якщо вони не перетинаються. Дивись:

пряма перпендикулярна до прямої, хоча і не перетинається з нею. Як так? Згадуємо визначення кута між прямими: щоб знайти кут між прямими схрещуються і, потрібно через довільну точку на прямій a провести пряму. І тоді кут між і (за визначенням!) буде дорівнює куту між і.

Згадали? Ну ось, а в нашому випадку - якщо виявляться перпендикулярні прямі та, то треба вважати перпендикулярними прямі та.

Для повної ясності давай розглянемо приклад.Нехай куб. І тебе просять знайти кут між прямими та. Ці прямі не перетинаються – вони схрещуються. Щоб знайти кут між і проведемо.

Через те, що – паралелограм (і навіть прямокутник!), виходить, що. А через те, що – квадрат, виходить, що. Ну, значить.

Перпендикулярність прямої та площини.

Визначення:

Ось картинка:

пряма перпендикулярна площині, якщо вона перпендикулярна всім-усім прямим у цій площині: і, і, і, і навіть! І ще мільярд інших прямих!

Так, але як тоді взагалі можна перевірити перпендикулярність у прямій і площині? Так і життя не вистачить! Але на наше щастя математики позбавили нас кошмару нескінченності, придумавши ознака перпендикулярності прямої та площини.

Формулюємо:

Оціни, як здорово:

якщо знайдуться лише дві прямі (і) у площині, яким перпендикулярна пряма, то ця пряма одразу виявиться перпендикулярна площині, тобто всім прямим у цій площині (у тому числі й якійсь прямій, що стоїть збоку). Це дуже важлива теорема, тому намалюємо її сенс і у вигляді схеми.

І знову розглянемо приклад.

Нехай нам дано правильний тетраедр.

Завдання: довести що. Ти скажеш: це ж дві прямі! До чого ж тут перпендикулярність прямої та площини?!

А ось дивись:

давай відзначимо середину ребра і проведемо і. Це медіани у в. Трикутники - правильні та.

Ось воно, диво: виходить, що, як і. І далі, усім прямим у площині, отже, і. Довели. І найголовнішим моментом виявилося саме застосування ознаки перпендикулярності прямої та площини.

Коли площини перпендикулярні

Визначення:

Тобто (детальніше дивись у темі «двогранний кут») дві площини (і) перпендикулярні, якщо виявиться, що кут між двома перпендикулярами (і) до лінії перетину цих площин дорівнює. І є теорема, яка пов'язує поняття перпендикулярних площин з поняттям перпендикулярність у просторі прямої та площині.

Теорема ця називається

Критерій перпендикулярності площин.

Давай сформулюємо:

Як завжди, розшифровка слів «тоді й тільки тоді» виглядає так:

• Якщо, то проходить через перпендикуляр.

• Якщо проходить через перпендикуляр, то.

(Звичайно, тут і – площини).

Ця теорема - одна з найважливіших у стереометрії, але, на жаль, і одна з найнепростіших у застосуванні.

Тож треба бути дуже уважним!

Отже, формулювання:

І знову розшифровка слів «тоді й тільки тоді». Теорема стверджує одразу дві речі (дивись на картинку):

Давай спробуємо застосувати цю теорему для вирішення задачі.

Завдання: дано правильну шестикутну піраміду. Знайти кут між прямими та.

Рішення:

Через те, що у правильній піраміді вершина при проекції потрапляє до центру підстави, виявляється, що пряма – проекція прямої.

Але ми знаємо, що у правильному шестикутнику. Застосовуємо теорему про три перпендикуляри:

І пишемо відповідь: .

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ У ПРОСТОРІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Перпендикулярність двох прямих.

Дві прямі у просторі перпендикулярні, якщо кут між ними.

Перпендикулярність прямої та площини.

Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна всім прямим у цій площині.

Перпендикулярність площин.

Площини перпендикулярні, якщо двогранний кут між ними дорівнює.

Критерій перпендикулярності площин.

Дві площини перпендикулярні тоді й лише тоді, коли одна з них проходить через перпендикуляр до іншої площини.

Теорема про три перпендикуляри:

Ну ось тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, то ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторю, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ.

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШ ЩАСТЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей, і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоб виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 899 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І насамкінець...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Умію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!